5.6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y DE TASAS RELACIONADAS

Problemas de Optimización y de Tasas Relacionadas

La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea.

Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función.

Estos incluyen encontrar la distancia mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc.

La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.

Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrarlos valores mínimos o máximos locales.

Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo.

Es decir, la optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local.

El mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente.

Puede haber casos, donde el mínimo o máximo global no existe para una función.

En estos el dibujo de la gráfica para la función correspondiente puede ayudar en gran manera.

Hay algunos pasos que deben seguirse con el fin de desglosar un problema de optimización:

1) Lo primero y más importante es identificar las variables y constantes de la función. Esto ayuda a determinar la parte de la función que será minimizada o maximizada.

2) Escribir la fórmula adecuada para la función particular, para lo cual tenemos que calcular el mínimo o máximo.

3) Ahora, la fórmula será escrita en términos de una sola variable, es decir, f(r).

4) Establezca la diferenciación de f(r) a 0, f'(r) = 0, y resuelva a través de observar todas las limitaciones y otros valores críticos para encontrar los valores extremos.

Por ejemplo, considere la función, g(r) = -r2 + 4r – 2.

Y siendo el intervalo en el cual el valor máximo será encontrado [0, 1].

Calculando g'(r) se obtiene,

g’(r) = −2r + 4 = 0

Por lo tanto, 2 viene a ser un valor crítico, luegoreemplazando el 2 en la función g (2) = 2.

Ahora sustituyendo uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos,

g (0) = −2 g (1) = 1

Se puede observar, que el valor máximo de g(r) en [0, 1] es 2.

Un tipo parecido de problema es el problema de las tasas relacionadas.

Se trata de un problema en el que se proporciona la tasa de variación de al menos una variable de la función y en el problema se necesita buscar la otra tasa de variación.

También hay ciertas reglas simples para resolver estos problemas:

Considere que f(a) sea una función con dos variables a y b, las cuales cambian con el tiempo y la tasa de variación de a es dada con el tiempo, es decir,  .

1) En primer lugar, encontrar la derivada de f(a), es decir, f'(a)

2) Ponga el valor de a en la ecuación

3) Entonces multiplíquelo con  para obtener 

Aplicar las reglas en un ejemplo proporcionará una mejor comprensión:

Suponga que la pregunta dada dice lo siguiente:

Se está bombeando aire a un globo esférico de 4 cm de radio a 5 cm3 / seg.

Entonces,el ritmo de cambio del radio del globo necesita ser calculado.

Se puede observar que el radio y el volumen son las variables de las funciones correspondientes.

 es dada y es igual a 5 cm3/seg y  necesita encontrarse.

Como V= 4 r3 / 3.

Diferenciando ambos lados, se obtiene .

Ahora sustituyendo el valor de en esta ecuación, se obtiene  cm /seg.

5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.

Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. 

La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dyson paralelos a los ejes antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuaci¨®n es bastante simple, a saber: dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ¡¯(x), se tiene entonces: dy = f ¡¯(x) dx Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial. 

5.4 ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNCIONES

En función de variación acotada, también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total está limitado (finito): la gráfica de una función con esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso. Para una función continua de una sola variable, por ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección de la y Ejes, dejando de lado la contribución del movimiento a lo largo de x Ejes, que recorre un punto movimiento a lo largo de la gráfica tiene un valor finito. Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es la misma, excepto por el hecho de que la trayectoria continua que se considera que no puede ser todo el gráfico de la función dada (que es un hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección de la propia gráfica con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, una plano) paralelo a un fijo xEjes y al y Ejes.

Funciones de variación acotada son precisamente aquellos respecto de los cuales uno puede encontrar en las integrales de Riemann-Stieltjes todas las funciones continuas.

Otra caracterización de los estados que las funciones de variación acotada tienen es que encuentran que en un intervalo cerrado son exactamente los f que se puede escribir como una diferencia g − h, donde ambos g y h están limitados monótono.

En el caso de varias variables, en función f definido en un subconjunto abierto Q de Rn se dice que la variación acotada si su de distribución de derivados es un recurso finito del vector.

Uno de los aspectos más importantes de las funciones de variación acotada es que forman una álgebra de funciones discontinuas cuya primera derivada existe casi en todas partes: debido a este hecho, se puede y con frecuencia se utilizan para definir soluciones generalizadas de problemas no lineales implican funcionales, ordinaria y ecuaciones diferenciales parciales en las matemáticas, la física y de ingeniería. Teniendo en cuenta el problema de la multiplicación de las distribuciones o más en general el problema de la definición general de las operaciones no lineales en funciones generalizadas, función de variación acotada son los más pequeños y en la álgebra tiene que estar integrada en todos los espacios de funciones generalizadas preservar el resultado de multiplicación.

5.3 FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE. MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Función creciente y función decreciente

Máximos y mínimos de una función

Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos

Concavidades y puntos de inflexión

Criterios de la derivada de segundo orden para máximos y mínimos

Hay ciertas características, o establecidos simplemente como términos, que pueden ser encontrados en las derivadas.

Estos son considerados como las aplicaciones de las derivadas.

Algunas de ellas incluyen:

Función creciente y función decreciente

Máximos y mínimos de una función

Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos

Concavidades y puntos de inflexión

Criterios de la derivada de segundo orden para máximos y mínimos

Función creciente y función decreciente: Una de las principales aplicaciones de las derivadas es determinar si la función f está creciendo o decreciendo en un intervalo determinado.

Esto puede encontrarse mediante tomar una único derivada de la función.

Si resulta ser mayor que 0 en cada punto del intervalo dado, entonces es una función creciente.

Por otro lado, si resulta inferior a 0 entonces la función será una función decreciente.

Máximos y mínimos de una función:

Se dice que una función tiene un valor máximo en el punto v, cuando el valor de f(v) es mayor que el valor en cualquiera de los puntos vecinos.

Del mismo modo, cuando el valor es menor que el valor en sus puntos vecinos, entonces ese valor se convierte en el valor mínimo de la función.

Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos:

Los relativos máximos o mínimos de la función pueden ser encontrados mediante la búsqueda de la primera derivada de la función.

Si la primera derivada resulta ser mayor que 1, en ese caso, se dice que la función está creciendo sobre el intervalo.

En el caso inverso, cuando la primera derivada resulta ser menor que 1, entonces se dice la que función es decreciente en ese intervalo.

5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.   

§         

La ecuación de la recta tangente a  una función en el punto  A( a , f ( a ) )  viene dada por la expresión:   y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x – a ]

§         

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

§         

Si en un punto de la gráfica de una función se produce un cambio brusco de dirección ( “un pico” o “punto anguloso”), la función no es derivable en dicho punto.

TEOREMA DE ROLLE            

Si  f  es una función continua en  [ a , b ], derivable en  ( a , b )  y además  f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que  f ’ ( c ) = 0.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que su recta tangente es paralela al eje de abscisas (es decir, es la recta  y = f ( c ) ).

TEOREMA DEL VALOR MEDIO (TEOREMA DE LAGRANGE)            

Si  f  es una función continua en  [ a , b ]  y  derivable en  ( a , b ), entonces existe al menos un punto  cÎ(a,b)  en el que  f ’ (c) = [ f ( b ) – f ( a ) ] / ( b – a ).

Interpretación geométrica          

Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que su recta tangente es paralela al segmento determinado por los puntos  A( a , f ( a ) )  y  B( b , f ( b ) )

TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO (TEOREMA DE CAUCHY)            

Si  f  y  g  son dos funciones continuas en  [ a , b ]  y  derivables en   ( a , b ),   entonces  existe  al  menos  un   punto  c Î ( a , b )  en el que se verifica:   f ’ ( c ) [ g ( b ) – g ( a ) ] = g ’ ( c ) [ f ( b ) – f ( a ) ].

5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO, CURVAS ORTOGONALES

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.

Sea  una curva, y  un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en  la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a  en  es la recta  que pasa por  y que tiene la misma dirección que  alrededor de .

La tangente es la posición límite de la recta secante () (el segmento  se llama cuerda de la curva), cuando  es un punto de  que se aproxima indefinidamente al punto  ( se desplaza sucesivamente por 

Si  representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta  tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde  son las coordenadas del punto  y  las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_Aserá:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente  que pasa por el punto  se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por . Siendo su ecuación:

suponiendo claro está que . Si  entonces la recta normal es simplemente . Esta recta no interviene en el.

4.8 DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

 

4.7 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y REGLA L' HOPITAL

La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,

La derivada de segundo orden de una función se representa como,

La derivada de tercer orden de una función se representa como,

Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.

La derivada de segundo orden de una función f(x), que es todavía más diferenciable,

No es posible obtener una derivada de orden superior de la función si la derivada actual de la función no es diferenciable. Para aclarar el concepto de las derivadas de orden superior eche un vistazo al ejemplo citado a continuación. f(x) = 4×3 + 9×2 – 3x + 4 La derivada de primer orden de esta función será,

f’(x) = 12×2 +18x – 3

Por la derivada anterior ser diferenciable es posible al diferenciarla nuevamente obtener la derivada de segundo orden de la función como, f’’(x) = f’(f’(x)) = 24x + 18

Al analizar la derivada de la función anterior se puede ver que esta puede ser aún más diferenciada. Por lo tanto la derivada de tercer orden de la función será,

f’’’(x) = f‘(f’(f’(x))) = 24

Ahora la derivada de cuarto orden de la función se obtiene,

f’’’(x) = f’(f‘(f’(f’(x)))) = 0

Como se puede observar ya no es posible diferenciar la función por más tiempo, por lo tanto detenemos el proceso de diferenciación aquí.

El ejemplo anterior también arroja luz sobre un hecho muy interesante, que es, si f(x) es un polinomio con n como el más alto grado entonces la derivada de mayor orden de tal función será n +1. Una diferencia muy interesante y diminuta entre la notación convencional de la potenciación y la diferenciación se explica más adelante,

f(2)(x)= f’’(x) f2(x) = [f(x)]2

Esta es, la presencia de paréntesis en el exponente denota una operación de diferenciación, mientras que su presencia en sí denota la operación de exponenciación.

La regla de L’Hôspital, también llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del cálculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los límites cuando los límites son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.

Esta regla se utiliza para transformar los límites intermedios en una forma determinada y por tanto, obtener la salida más conveniente.

La definición formal de L’Hôspital es, existen dos funciones f(x) y g(x). Ahora bien, si 

  , además

 es real, entonces de acuerdo a la regla del L’Hôspital,