2.10 FUNCIÓN IMPLÍCITA.

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de  entre las variables x e y:

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

2.9 FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUMEROS NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUMEROS REALES: LAS SUCESIONES INF.

Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido está incluido en el conjunto de los números reales.

En símbolos:

                s: lN  ®  lR  /  " n Î lN: s(n) = a_n 

Es decir que:

- a₁ es la imagen del número natural 1 por medio de la sucesión

               1  ®  s(1) = a₁ 

- a₂ es la imagen del número natural 2 por medio de la sucesión

               2  ®  s(2) = a₂

                   3  ®  s(3) = a₃

De acuerdo con esta definición, cada elemento de una sucesión puede representarse como un par ordenado (n, s(n)) o bien (n, a_n). Por consiguiente, toda sucesión puede representarse gráficamente mediante un diagrama cartesiano.

2.8 FUNCIÓN INVERSA. FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

FUNCIÓN INVERSA

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.Se despeja la variable x en función de la variable y.

3.Se intercambian las variables.

¨*Ejemplos

Calcular la función inversa de:

1. 

ver mas en:

http://www.vitutor.com/fun/2/a_5.html

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Una función logarítmica f: X → y es una función de la forma, 

Aquí b es usualmente un número real mayor que uno. Sin embargo solo necesita ser mayor de cero, y nunca debe ser igual a uno.

Tal función es definida para todos los valores de x mayores que cero.

Las funciones logarítmicas se abrevian como funciones log y estas funciones son las funciones inversas de las funciones exponenciales.

Tales funciones generalmente poseen una asíntota vertical en vez de una horizontal por el motivo de ser las inversas de la función exponencial.

También siendo las funciones inversas de las funciones exponenciales, su dominio es limitado.

Las funciones logarítmicas fueron introducidas más tarde debido a que se enfrentaron a problemas para encontrar las funciones inversas de las funciones exponenciales.

Observe el ejemplo siguiente,

x = 10^y, para encontrar la inversa reemplace x e y para obtener,

y = 10^x

Como podemos observar no es posible resolver la ecuación anterior, entonces es ahí donde entra el uso de las funciones logarítmicas.

Por tanto la ecuación se convertirá en, 

La cual puede ser resuelta utilizando la tabla log.

http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionInversaFuncionLogaritmicaFuncionesTrigonometricasInversas#sthash.b7LRGiSa.dpuf

FUNCION TRIGONOMETRICA INVERSA

Las funciones inversas de las funciones trigonométricas se llaman funciones trigonométricas inversas o funciones ciclométricas.

Estas son el general funciones con múltiples valores.

La afirmación anterior puede entenderse mejor con la ayuda de un ejemplo.

Supongamos que z tiene muchos valores.

Ahora la ecuación, Z=sen W

Por lo que no puede existir un valor único de la inversa de esta ecuación hasta que tengamos un valor principal definido para w.

Estas funciones no satisfacen la definición de función inversa, ya que su rango es subconjunto del dominio de las funciones trigonométricas.

Las funciones trigonométricas inversas se enumeran a continuación junto con sus notaciones alternativas.

1. sin⁻¹ z arcsin z

2. cos⁻¹ z arcos z

3. tan⁻¹ z acrtan z

4. sec⁻¹ z arcsec z

5. cosec⁻¹ z acrcosec z

6. cot⁻¹ z arccot z

2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES : ADICION , MULTIPLICACION , COMPOSICION .

Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los números: sumar, restar, multiplicar, dividir,

 elevar a una potencia, sacar raíz o se puede hacer combinaciones.Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado.

 Por ejemplo: f actua sobre “x” para producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion
 composicion que se representa g(f(x))

Definición.
Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones:
 i. SUMA: ii. DIFERENCIA: iii. PRODUCTO: iv. COCIENTE

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g,
una nueva función llamada la “compuesta de f y g”.
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera

2.6 FUNCION DEEFINIDA POR MAS DE UNA REGLA DE CORRESPONDEENCIA . FUNCION DE VALOR ABSOLUTO

Función a trozos es un nombre más general para una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f: X → Y es llamadauna función a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales.

Podemos decir que tal función está definida en una serie de intervalos múltiples.

La notación general para definir una función a trozos es la siguiente,

Como se muestra en el ejemplo, punto y coma ócomas se utilizan al final de la columna.

Sin embargo, algunos los autores prefieren usar palabras como “si” o “para” en la columna derecha, y la palabra “ de lo contrario” también se puede utilizar para indicar el caso por defecto.

La gráfica de esta función también se divide en trozos, dependiendo del número de ecuaciones que se utilicen para definir la función.

Tal función es llamada de esta forma porque la definición de esta función cambia dependiendo del valor de la variable de entrada.

Aquí el uso de la palabra “a trozos” se hace para describir la propiedad de esa función, que es válida para una ecuación / pieza de la función pero no en todo el dominio de la función.

La función a trozos tiene una serie de funciones en su cuerpo, el dominio de cada una de ellas se define por separado. El gráfico del ejemplo dado previamente luciría de esta forma,

Es claro que el gráfico anterior contiene dos piezas separadas para indicar dos ecuaciones diferentes, por lo tanto representa la función como un todo.

Un caso especial de la función a trozos es la función piso que tiene un número infinito de piezas.

El valor absoluto de cualquier número es su distancia absoluta del cero, nunca es negativo dado que la distancia nunca es negativa.

A la luz de la afirmación anterior se puede decir que el valor absoluto de cualquier número es el número mismo hecho positivo.

La función de valor absoluto es generalmente una función par, ya que cualquier número y su equivalente negativo tienen los mismos valores absolutos.

Tal función es estrictamente decreciente en el intervalo (- ∞, 0] y estrictamente creciente en el intervalo [0, ∞).

El ejemplo ilustrado arriba es también una función de valor absoluto.

Todas las gráficas de las funciones de valor absoluto están en forma de letra “V”, ya seanrectas u oblicuas en función del valor de la variable.

Esto se debe a que un valor negativo en cada variable es igual en magnitud pero opuesto en su dirección.

Pero definitivamente no se puede llegar a la conclusión de que todas las funciones con forma de V son funciones de valor absoluto, esto es simplemente una probabilidad.

Graficar una función de valor absoluto es muy esencial para utilizar algunos valores negativos en la tabla T.

Esto se debe a que las funciones de valor absoluto se comportan algo diferente de otras funciones lineales.

Generalmente una función real de valor absoluto se comporta de forma continua en todos sus dominios.

También tal función sería diferenciable para todos los valores excepto el cero.

2.5 FUNCIONES TRASCENDENTES: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES EXPONENCIALES.

FUNCIONES TRASCENDENTES
 En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

FUNCIÓN EXPONENCIAL 
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS , FUNCION POLINOMIAL, RACIONAL E IRRACIONA

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Si una función puede construirse usando operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicación y sacar raices) se le llama función alebraica. Cualquier función racional es una función algebraica. 

FUNCION POLINOMIAL 
Una función polinómica es aquella que está definida por un polinomio:

donde   a₀, a₁ ... a_n-1, a_n   son números reales que se llaman coeficientes del polinomio y   n   es el grado del polinomio.

Las características generales de las funciones polinómicas son las siguientes:

1) El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).

2) Son siempre continuas.

3) No tienen asíntotas.

4) Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.

5) Cortan el eje Y en el punto (0, a₀).

6) El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno.

7) El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos dos.

Funciones polinómicas de segundo grado:    parábolas

Función racional

Definición de función racional
Una función racional f es una razón de dos polinomios: f(x)=P(x)Q(x) donde P y Q son polinomios. El dominio consiste de todos los valores de x tal que Q(x)≠0.

Figura 4 - Función recíproca

Un ejemplo sencillo de una función racional es la función f(x)=1/x, cuyo dominio es {x≠0}; esto es la función recíproca que se dibuja en la figura 4.La función

f(x)=2x4−x2+1x2−4

es una función racional con dominio \left{ x|x \neq \pm 2  \right}$. La figura 5 ilustra su gráfica.

Figura 5 - Función racional

Función radical

La función f(x)=x1/n=x√n es una función raíz. Para n=2 es la función raíz cuadrada f(x)=x√, cuyo dominio es [0,∞} y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola x=y2. Para otros valores pares de n, la grafica de y=x√n es similar a la de y=x√. Para n=3 tenemos la función raíz cúbica f(x)=x√3 cuyo dominio es R (recuerde que todo número real tiene una raíz cúbica) y cuya gráfica se ilustra en la figura 6(b). La gráfica de y=x√n para n impar (n>3) es similar a la de y=x√3.